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发布日期：2025-05-13 11:14    点击次数：83

奇月 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

3名高中生，只用课余期间，重新证实注解了100年前的数学定理。

不仅仅圆，你不错在 门格海绵（Menger Sponge）中找到任何一个数学 结（knot）！

你可能对门格海绵还相比目生，它是Karl Menger（卡尔·门格尔）在1926年创建的一个十分深嗜的见地，对当代数学、图形学等限度都很进击。

这个分形海绵在一百年间诱导了大都专科和业尾数学家，原因也很绵薄：它看起来太深嗜了。

2014年，数百名数学怜爱者还参与了一个名为MegaMenger的人人作为，用柬帖制作出了重达200磅的新版块门格海绵。

由于它有多孔、泡沫状的结构，还不时被用来模拟减震器和非凡的空间-期间步地。

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它的结构十分优雅。咱们不错从一个立方体动身，着手移除位于其中心以及六个面中心的立方体。然后对剩下的 20 个立方体肖似此经由。

在每次迭代中，它的间隙会呈指数级加多，最收场构十分类似咱们常见的“海绵”，这亦然它名字的由来。

门格海绵也有着十分终点的数学性质： 跟着迭代，立方体的口头体积会减少到零，而名义积无尽增大。

Menger在1926年建议这个见地时，就证实注解了 任何能设想出来的曲线——绵薄的线条和圆形，看起来像树或雪花的结构——都不错变形然后 镶嵌海绵的某个所在，也便是说这种海绵是一种“ 通用曲线”。

而今天的主角，来自加拿大的3名高中生，奴隶那时还在就读多伦多大学商议生的Malors Espinosa(马洛斯·埃斯皮诺萨)，进一步彭胀了这个定理的证实注解。

况且他们还发现，三叶结所属类 “ 普雷策尔结（pretzel knot）”也都不错映射到 四面体版块的门格海绵中。

北卡罗来纳州立大学的拓扑学家Radmila Sazdanovic也评讲明，“这是一种十分难懂的证实注解次第。”

这到底是何如作念到的呢？

用弧形图与康托尔集暗意结

Malors在阅读了相干证光辉暴露到，Menger照旧证实注解不错在他的海绵中找到纵情一个圆。

那么，要是是另外一种 类似于“圆”的口头，这个定理还能建树吗？

比如一个经典的数学结：将一条绳索曲解并打结，然后将其两头禁闭酿成一个环。此时，要是让一只蚂蚁沿着它行走，最终它会回到动身点，就像在圆上一样。

这么一来，每个结都与圆等价，好像说“同胚（homeomorphic）”于圆。

Malors从这个想法中取得了灵感，他决定从我方讲课的高中里找一些学生来证实注解： 门格海绵中不错找到任何一个结。

其后， 三名高中生——Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth确实作念到了！

在进入这个证实注解作为之前，三位学生从来莫得作念过这种“莫得谜底”的题目，但这群14岁的少年都十分忻悦。

他们的办法类似于用一根袖珍针穿过一团灰尘，也便是海绵经过屡次移除后剩下的部分。

他们必须将针插在正确的位置，精准无误地打结，况且不成离开海绵。要是他们的线因为任何一个结而飞动在海绵的舛误中，那就失败了。

诚然这看起来十分用功，但有一种简化的次第。绳结不错暗意为一张平面上的非凡图表，称为 弧暗意（arc presentations）。

要绘画弧暗意图，着手要了解结的各股是怎样前后挪动的。然后，愚弄一套规章将这些信息转动为网格上的一系列点。网格的每一瞥和每一列都将包含两个点。

用水和煦垂直线勾搭这些点。每当两个线段交叉时，将垂直线画在水平线之上。

每个结都不错用这种网格状的神气暗意。诚然弧暗意法就怕看起来比其他的绘画次第更复杂，但它不错让数学家更容易商议结的一些进击性质。

当学生们看到纵横交叉的线条图时，他们梦想起了门格海绵的面。

你不错十分绵薄地把曲线的水平线放在海绵的一个面上，把垂直线放在海绵的另一个面上。

难点在于怎样将结拉伸回三维空间。在曲线的每一个转角处，都需要通过海绵的里面将两个面勾搭起来，幸免遭逢洞。

为了确保这小数，他们猜度了 康托尔集（the Cantor set），它是门格海绵的一维模拟。

要构建这个围聚，着手要从一条线段运转，把它分红三份。去掉中间的三分之一，然后对剩下的两段作念雷同的措置，依此类推，取之不尽。临了剩下的便是衰退的点了。

商议小组的证实注解同期利用了门格海绵和康托尔集，它们有调换数目的移除圭臬。

他们发现，海绵面上坐标都在康托尔聚合的点不应该有洞。况且，由于海绵的肖似盘算推算，在这些点的正后方也不应该有洞。因此，结不错解放、明晰地穿过海绵，而不会不提神跳出海绵的材料。

接下来，学生们要作念的便是证实注解他们不错压缩或拉伸纵情绳结的曲线暗意，使其通盘角都与康托尔聚合的坐标对皆。(这种压缩和拉伸是可行的，因为它不会影响曲线的合座结构，因此也不会影响它所代表的绳结）。

为了完成这临了一步，3位同学走了一条捷径。

他们证实注解，他们不错对任何曲线进行变形，使其垂直线段和水平线段的交叉点都在康托尔聚合。这就自动保证了更多的角也会与康托尔集对皆。

换句话说，他们 总能将给定的结镶嵌门格尔海绵的某个迭代中。

这就照旧完成了Malors领先的证实注解。不外，他们还想进一步鞭策这个商议： 是否通盘的结也不错镶嵌门格海绵的四面体版块中？

关于学生们的想要在四面体中寻找三叶结的想法，Malors起始驯顺是不可能的。

但几周后，学生们确实作念到了：他们找到了一种新次第，不错 将三叶结的弧暗意映射到四面体中。

他们其后证实注解，这种次第适用于三叶结所属的更浅薄的结类 “ 普雷策尔结（pretzel knot）”。

不外现在关于其他类型的结的证实注解还没能完成。

One More Thing

Malors暗意，此次证实注解经由，让学生们真确体会到了数学商议的不幸。

不同于高中数学题目中老是会给出详情的谜底，真确的数学商议中，很大一部分期间都是 在有但愿的失败中招架。

Malors合计学生们的证实注解次第可能为 更浅薄地测量分形的复杂性提供了一种新想路。

并非通盘的分形都能保证容纳通盘类型的结。也许不错把柄它们能容纳和不成容纳哪些类型的结来更好地勾搭它们的结构。

至少，这件作品不错激励新的艺术灵感，类似于2014年的MegaMenger大赛等等。

在证实注解时候，3位同学都已高中毕业。只消Broden决定在大学课业不忙的时候继续商议四面体问题，但三东说念主也都在探讨从事数学作事。

另一个同学Nazareth也暗意：”我正在致力于为更大的管事，为说念理的内容作念出孝敬，这嗅觉很特意旨。

— 完—

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发布于：北京市